El orden y* el caos: estimula la imaginación y la creatividad.
El orden o** el caos: inhiben la imaginación y la creatividad, permitiendo a algunos desarrollar un poder omnímodo para afectar las vidas de otros.

* y: el uno se fusiona con el otro.
** o: el uno excluye al otro.

Order and* chaos: stimulates imagination and creativity.
Order or** chaos: inhibits imagination and creativity, allowing some to develop a limitless power to affect the lives of others.

* and: the one blends with the other.
** or: the one excludes the other.

No nos parece tan fácil, sin embargo, aceptar que una red de procesos cerrada sobre sí misma pueda ella misma distinguirse, como observador, de un ambiente hecho presente por esta misma distinción. Además, considere: (1) que el ambiente distinguido contiene al observador (la red cerrada de procesos) y (2) que desde la perspectiva de este observador, esta distinción y las distinciones adicionales que resultan de la interacción entre este observador y su ambiente aparecen paradojales y lógicas. En otras palabras (paradójicamente), para el observador, todas las posibilidades se fusionan entre sí (por ejemplo, existe y no existe, dentro y fuera, rojo y azul y verde y … etc.) y (lógicamente), para el observador, las posibilidades se distinguen unas de otras (existe o no existe, dentro o fuera, rojo azul o verde o… etc.).

Los organismos vivos, con o sin un sistema nervioso, constituyen ejemplos de estas redes cerradas de procesos. Un sistema nervioso, también una red cerrada de procesos, interactúa con su medio ambiente a través de redes cerradas de procesos que involucran sus superficies sensorias y efectoras. Por lo tanto, el sistema nervioso interactúa con su medio ambiente (paradójicamente) dentro y fuera de él mismo y (lógicamente) dentro o fuera de él mismo.

Determinados en gran medida por su biología, uno o más observadores, razonando lógicamente, distinguen un mundo “allá fuera” hecho de objetos y sucesos, a los cuales les adjudican (mediante distinciones adicionales) posibilidades específicas como resultado de características y limitaciones perceptivas u otras, así como resultado de intentos de sociabilizar. Sin embargo, estos intentos también entrañan un avance hacia la trivialidad y un alejamiento del pensar y las paradojas. El conocimiento social, “objetivo” o “subjetivo”, tal como lo practican los lógicos, matemáticos, científicos, tecnólogos y otros, no proporciona excepción alguna. Un observador todavía puede acoger estos intentos, siempre que conduzcan a la conversación, evitando así la trivialización (instrucción) de uno por el otro y la de muchos por los pocos.

Dos o más observadores individuales no pueden distinguir un mundo común “allá fuera” a menos que alguna evidencia pueda convencerlos. Desde esta evidencia, el razonamiento lógico permite a los observadores humanos deducir inferencias sobre el mundo “allá fuera” que no se sostendrán a menos que alguna evidencia las apoye, reforzando así la distinción original de un mundo “allá fuera”. Como una nueva evidencia puede demostrar el error de evidencias previas, este proceso (evidencia, inferencias, nueva evidencia, nuevas inferencias…) no tiene fin, y puede cuestionar la distinción original de un mundo “allá fuera”, lo cual puede cuestionar el razonamiento lógico mismo, y sugerir en cambio un razonamiento paradójico.

Ningún observador “resuelve” o “explica” paradojas sin incurrir en una pérdida. Este punto de vista, como lo muestra el Tractatus, resulta esencial para aquellas sociedades que los humanos debieran desarrollar mediante la educación y el arte y la filosofía. El Tractatus no dice, ni enseña, ni explica qué educar; pero muestra la educación como si la estuviera indicando. También busca el origen de estas proposiciones irreverentes hasta la fuente misma de todas las proposiciones: la esencia paradojal del observador.

Si los humanos no sucumben a las deficiencias que ellos mismos se infligen, lo que sigue puede ayudarlos a verse (entenderse) y a ver (entender) las consecuencias de sólo razonar lógicamente, tal como lo hacen los lógicos, matemáticos, científicos, tecnólogos y otros; en busca de una verdad como si buscaran a un dios, traducen todo a su propio lenguaje y yerran miserablemente el blanco. Aquellos que practican estas disciplinas pronto olvidan o combaten su origen paradójico mucho porque aquellos humanos que se consideran “acomodados” y/o “contentos” y aquéllos que esperan alcanzar ese estado, acogen, exigen y/o se adaptan a un razonamiento lógico sin conflictos ni paradojas, forzando así un status quo.

Consideremos una concatenación de palabras (una frase) y llamémosla una proposición (una declaración) inventada por uno o más observadores para aseverar o expresar algo dentro de un contexto dado.

Las proposiciones pueden tener distintos significados para diferentes grupos de uno o más observadores.

Propositions may have different meanings for different groups of one or more observers.

Razonando paradójicamente, un grupo de observadores puede encontrar significados comunes y tentativos para proposiciones a través de los juegos de lenguaje que definen sus formas de vida.

Reasoning paradoxically, a group of observers may find tentative common meanings for propositions through the language-games that define their forms of life.

Razonando lógicamente, un grupo de observadores puede encontrar que algunas proposiciones no se refieren a sí mismas y que un observador o un grupo de ellos debe asignar o determinar sus valores lógicos (e.g., en una lógica de dos valores: verdadero, falso). Otros observadores pueden disentir y defender con argumentos, valores distintos.

Otras proposiciones se refieren a sí mismas (proposiciones auto-referentes) y determinan su propio valor lógico, por ejemplo, L: “La proposición L tiene aquí y ahora el valor verdadero”. Uno o más observadores pueden asignar uno u otro valor lógico (verdadero, falso) a L, y como L se refiere a sí misma no permite ningún argumento que dispute o que defienda esta elección.

Other propositions refer to themselves (self-referential propositions) and determine their own logic values, e.g., L: “Proposition L has now and here the value true”. One or more observers can choose and assign either logic value (true, false) to L and since L refers to itself it does not allow any arguments to dispute or to support this choice.

Algunas proposiciones auto-referentes determinan su propio “valor lógico” como “verdadero y falso” y así impiden al observador la elección (distinción) entre “verdadero” o “falso”, como sucede con la proposición: P: “La proposición P tiene aquí y ahora el valor falso”. Si uno o más observadores, adoptando un razonamiento lógico, suponen que esta proposición tiene ahora el valor “verdadero”, pronto tendrán que aceptar, bajo esa suposición, su valor como “falso”. Si suponen el valor de la proposición como “falso”, pronto tendrán que aceptarlo como “verdadero”, y así en adelante. Para estos observadores los valores oscilan: verdadero, falso, verdadero, falso… cuando tratan de determinar un valor. Llamemos paradoja a esta proposición.

Some of the self-referential propositions determine their own “logic value” as “true and false”, thus preventing the observer from choosing (distinguishing) “true” or “false”, such as the proposition: P: “Proposition P has now and here the value false”. If one or more observers, adopting a logical reasoning, assume that this proposition has now the value true, they soon have to accept, under that assumption, its value as false. If they assume the value of the proposition as false, soon they have to accept it as true, and so on. For these observers the values oscillate: true, false, true, false ... as they attempt to determine a value. Call this proposition a paradox.

Desgraciadamente muchos autores que escriben sobre paradojas olvidan la auto-referencia y la fusión de diferentes posibilidades como aspectos esenciales de las paradojas, con la lamentable consecuencia de que muchas adivinanzas, acertijos, enigmas, etc., pasan por paradojas.

Razonando lógicamente, el observador sólo puede considerar ambos valores alternando en un tiempo y un espacio que resultan del observador contemplando la paradoja desde una perspectiva lógica.

Razonando paradójicamente, el observador fusiona “verdadero” o “falso” en “verdadero y falso” y por lo tanto, ni tiempo ni espacio ni oscilación resultan desde una perspectiva paradójica.

Con el razonamiento paradójico, sin embargo, el observador fusiona, sin conflicto, todas las posibilidades. Por lo tanto, con el razonamiento paradójico el observador también fusiona el razonamiento paradójico o lógico en razonamiento paradójico y lógico. En consecuencia, razonando paradójicamente, el observador también puede hacer distinciones tentativas en el tiempo y en el espacio.

With paradoxical reasoning, however, the observer blends, without conflict, all possibilities. Hence, with paradoxical reasoning, the observer also blends paradoxical or logical reasoning into paradoxical and logical reasoning. Therefore, reasoning paradoxically, the observer can also make tentative distinctions in time and space.

En un bucle auto-referente de proposiciones, derivado de la proposición L, tal como el que sigue, todas las proposiciones tendrán uno u otro de los valores verdadero (V) o falso (F) dependiendo de cual valor elige el observador para una de las proposiciones, por ejemplo L1 (y no hay oscilación):

In a self-referential loop of propositions, derived from proposition L above, such as the one that follows, all the propositions will have either the value true (T) or the value false (F) depending on what value the observer chooses for one of the propositions, say L1 (and no oscillation develops):

			t1	t2 ...
L1: “L2 tiene aquí y ahora el valor V.”			V(F)	V(F)…
L2: “L3 tiene aquí y ahora el valor V.”			V(F)	V(F)…
Ln: “L1 tiene aquí y ahora el valor V.”			V(F)	V(F)

			t1	t2 ...
L1: “L2 has now and here the value true.”			T(F)	T(F)…
L2: “L3 has now and here the value true.”			T(F)	T(F)…
Ln: “L1 has now and here the value true.”			T(F)	T(F)

Un bucle auto-referente de proposiciones, derivado de la proposición P, tal como el que sigue, no permitirá al observador asignar valores a ninguna de sus proposiciones ya que sus valores oscilarán lógicamente y se fusionarán paradójicamente para el observador como antes (Notemos que los valores ahora también varían a lo largo del bucle a medida que el observador, razonando lógicamente, determina los valores de cada proposición, haciendo la oscilación levemente más compleja que como se ve en la tabla que sigue):

A self-referential loop of propositions, derived from proposition P above, such as the one that follows, will not allow the observer to attach values to any of its propositions since their values will oscillate logically and blend paradoxically for the observer as before (notice that the values now ripple through the loop of propositions as the observer, reasoning logically, determines the value of each proposition, thus making the oscillation of values slightly more complex than shown here):

			t1	t2	t3 ...
P1: “P2 tiene aquí y ahora el valor V.”			V	F	V ...
P2: “P3 tiene aquí y ahora el valor V.”			V	F	V ...
					...
Pn: “P1 tiene aquí y ahora el valor F.”			V	F	V ...

			t1	t2	t3 ...
P1: “P2 has now and here the value true.”			T	F	T ...
P2: “P3 has now and here the value true.”			T	F	T ...
					...
Pn: “P1 has now and here the value false.”			T	F	T ...

Como la proposición P, este bucle paradójico de proposiciones también sugiere el razonamiento paradójico al observador.

As proposition P, this paradoxical loop of propositions also suggests paradoxical reasoning to the observer.

If an observer takes a narrow band of paper and glues its ends together, the observer forms a ring with two faces (outside and inside) and two edges (right and left or up and down, depending on how the observer holds the ring). Assuming that each face (or edge) of the ring corresponds to a value (T, F), the observer can see the whole ring as a metaphor for the loop of propositions derived from L.

Si el observador gira 180 grados uno de los extremos antes de unirlo al otro, el observador forma una cinta de Möbius con una superficie y un borde (ver el anillo y la cinta de Möbius en la sección siguiente ). Tal como el bucle paradójico de proposiciones derivado de P que, para el observador que recorre el bucle de proposiciones, alterna lógicamente dos valores (en un tiempo y un espacio) y fusiona paradójicamente dos valores en uno (ni tiempo, ni espacio), para el observador que recorre la banda a lo largo, esta banda alterna lógicamente dos superficies (en un espacio y un tiempo) y fusiona paradójicamente dos superficies en una (ni tiempo, ni espacio); y alterna lógicamente dos bordes (en un espacio y un tiempo) y fusiona paradójicamente dos bordes en uno (ni tiempo, ni espacio). Notemos que la proposición n corresponde al giro y que cualquier número impar de giros mantiene la paradoja y que cualquier número par de giros la destruye, introduciendo una distinción.

If the observer twists one end of the band 180 degrees before gluing it to the other end, the observer forms a Möbius band with one face and one edge (see the Ring and Möbius Band in the following section). As with the paradoxical loop of propositions derived from P that, for the observer traversing the loop of propositions, alternates logically two values (in a time and a space) and blends paradoxically two values into one (no time, no space), for the observer traversing the band lengthwise, this band alternates logically two faces (in a space and a time) and blends paradoxically two faces into one (no time, no space), and alternates logically two edges (in a space and a time) and blends paradoxically two edges into one (no time, no space). Notice that proposition n corresponds to the twist and that any odd number of twists maintains the paradox and that any even number of twists destroys it, introducing a distinction.

Si en lugar de una cinta, el observador tiene un tubo de sección poligonal que se cierra sobre sí mismo formando un toroide con 3, 4, 5, ... o n caras y cada cara representa una posibilidad (por ejemplo, un valor lógico en una lógica polivalente o una componente en una red cerrada de procesos y componentes) el observador tiene un toroide lógico del cual el observador puede formar un toroide paradójico (una cara y un borde) con el giro apropiado (360/3 =120 grados para 3 caras, 360/4=90 grados para 4 caras, 360/n para n caras (n posibilidades)).

Anillo y Cinta de Möbius: (2 caras <=> 1 cara; 2 bordes <=> 1 borde)	Ring and Möbius Band: (2 faces <=> 1 face; 2 edges <=> 1 edge)
Toroides Lógicos y Toroides Paradójicos: (3 caras <=> 1 cara; 3 bordes <=> 1 borde)	Logical and Paradoxical Toroids: (3 faces <=> 1 face; 3 edges <=> 1 edge)
Toroides Lógicos y Toroides Paradójicos: (4 caras <=> 1 cara; 4 bordes <=> 1 borde)	Logical and Paradoxical Toroids: (4 faces <=> 1 face; 4 edges <=> 1 edge)

Para el observador que recorre a lo largo la cara resultante, el toroide paradójico alterna lógicamente n caras en un espacio y un tiempo y fusiona paradójicamente n caras en una eliminando tiempo y espacio. Razonando lógicamente, cada vez que el observador retorna al punto de partida después de cada vuelta alrededor del toroide paradójico el observador se encontrará sobre una cara diferente (y, paradójicamente, la misma cara). El toroide paradójico también sugiere un razonamiento paradójico al observador.

For the observer traversing the resulting face lengthwise, the paradoxical toroid alternates logically n faces in a space and a time and blends paradoxically n faces into one, eliminating time and space. Reasoning logically, every time the observer returns to the point of departure after every turn around the paradoxical toroid the observer will stand on a different (and, paradoxically, the same) face. The paradoxical toroid also suggests paradoxical reasoning to the observer.

Consideremos ahora que un toroide lógico, como una metáfora para un conjunto de componentes (las caras del toroide) que no cambian (ni procesos, ni actividad), puede representar la estabilidad estática de las cosas no vivas.

Consider now that a logical toroid, as a metaphor for a set of components (the faces of the toroid) that do not change (no processes, no activity), may represent the static stability of non-living things.

Un toroide paradójico, sin embargo, como metáfora para un conjunto de componentes que sí cambian (debido a procesos) de una en otra, puede representar la estabilidad dinámica propia de todos los organismos vivos y de la actividad de sus sistemas nerviosos.

A paradoxical toroid, however, as a metaphor for a set of components that do change (due to processes) into each other, represents the dynamic stability that lies at the heart of all living organisms and at the heart of the activity of their nervous systems.

Las flechas representan los procesos y los tiempos y espacios que resultan de la perspectiva elegida.

Las flechas representan ahora componentes fusionándose, la auto-referencia y el giro (mejor representados por los toroides paradójicos correspondientes). Ni tiempo ni espacio resultan desde esta perspectiva.

The arrows now represent components blending into each other, self-reference and twist (best represented by the corresponding paradoxical toroids). Neither time nor space results from this perspective.

Most observers succumb to these methods of coercion and relinquish the paradoxical view (the whole paradoxical toroid). This reveals the essence and origin of all logical reasoning: a social convenience extricated from a paradoxical context. The extraction, however, reduces a priori the possibilities (the available choices) for these observers.

Logicians and mathematicians have carved and extracted (painstakingly, brilliantly) the whole edifice of logical reasoning out of these same paradoxical loops, so that this edifice may please as many logicians and mathematicians as possible. The carving and extraction, as before, reduce a priori the possibilities (the available choices). The same applies to science and its applications, and to any other activity in which the observers attempt logical reasoning alone.

Muchos bucles paradójicos han inspirado aplicaciones útiles o inútiles tales como el inversor lógico con realimentación usado como un oscilador (e.g., en el corazón de las computadoras digitales), o el oscilador electromagnético usado en los timbres eléctricos, o la paradoja del mentiroso que inspiró y mortificó a muchos lógicos y matemáticos. El ejemplo presentado más abajo sugiere además la perspicacia que las paradojas pueden otorgar a las lógicas, a las matemáticas y a las ciencias, siempre que se les permita formar parte del razonamiento; como si los humanos prestaran oído a los alborotadores en lugar de hacerlos callar.

Cuando un observador entra de noche a una pieza, el observador suele encender una luz eléctrica usando un interruptor cerca de la puerta. El circuito eléctrico correspondiente puede verse en la figura siguiente. V representa una fuente de voltaje y L representa la luz. El interruptor INT permite el flujo de corriente (luz encendida) cuando está cerrado y lo impide (luz apagada) cuando está abierto.

When an observer enters a room at night, the observer usually turns on an electric light using a switch near the door. The corresponding electric circuit follows. V stands for a source of voltage and L stands for the light. The switch SW allows the flow of current (light on) when closed and prevents it (light off) when open.

Si la pieza tiene varias puertas, el observador desearía tener un interruptor cerca de cada puerta, de modo que la misma luz pueda encenderse y apagarse desde cada uno de los interruptores.

If the room has several doors, the observer would like to have a switch by each door, so that each of the switches can turn on or off the same light.

Un enfoque paradójico de este problema ofrece una solución interesante, llena de posibilidades y significados. Modifique el circuito como sigue:

A paradoxical approach to this problem offers an interesting solution, rich in possibilities and meanings. Modify the circuit as follows:

En lugar del interruptor el circuito tiene ahora dos anillos de alambre eléctrico. Imagine estos anillos como los dos bordes de la cinta de papel considerada más arriba. Si el observador logra girar esta cinta para formar una cinta de Möbius, los dos anillos formarán un alambre continuo que cerrará el circuito y encenderá la luz. El observador puede hacer esto con un interruptor Doble Polo Doble Tiro (DPDT) como sigue:

Instead of the switch the circuit has now two rings made of electrical wire. Visualize these two rings as the two edges of a band like the paper ring considered above. If the observer manages to twist this band to form a Möbius band, the two wire rings will form one continuous wire, thus closing the circuit and turning the light on. The observer can do this with a so-called Double Pole Double Throw (DPDT) switch as follows:

Con el interruptor en la posición A (A cerrado, B abierto), los dos anillos de alambre permanecen aislados uno del otro (luz apagada). Con el interruptor en la posición B (A abierto, B cerrado), los dos alambres se cruzan (giran) cada uno hacia el otro formando un alambre continuo y encendiendo la luz. El observador puede conectar tantos de estos interruptores como desee alrededor de los anillos. Tal como en el bucle paradójico de proposiciones, sólo un número impar de interruptores en la posición B (giro) encenderá la luz. Nótese que la operación (utilidad) del circuito contempla lógica y paradoja, distinción y no distinción. Si el observador coloca un interruptor cerca de cada puerta y los conecta de esta manera, el observador podrá encender y apagar la luz desde cada una de esas puertas.

Además, dependiendo de dónde, entre los interruptores, el observador conecta la fuente de voltaje y la luz a los anillos de alambre, resultan distintas operaciones de los interruptores.

Moreover, depending on where among the switches the observer connects the voltage source and the light to the wire rings, different operations of the switches result.

(Construí este circuito con cinco DPDT interruptores y opera tal como lo he descrito).

(I built this circuit with five DPDT switches and it operates as I have described it).

Imagine una red, por ejemplo, de cien nodos dispuestos en una matriz 2-D (bidimensional) de 10x10 elementos interconectados horizontal y verticalmente (una interconexión 2-D de nodos). Haga de cada nodo un oscilador y su oscilación observable como una luz que el nodo enciende (roja) y apaga (blanca) con una cierta frecuencia. (Vea la primera mitad de la figura siguiente). Un oscilador básico consiste de un inversor lógico dentro de un bucle paradójico (un bucle con un giro como una cinta de Möbius). Tal como una paradoja la oscilación sucede en un tiempo y un espacio que resulta del observador contemplando el oscilador desde una perspectiva lógica. (Muchas configuraciones de elementos en un bucle recurrente pueden hacer osciladores de distintos tipos tal como eléctricos, mecánicos, ópticos, biológicos, etc.). En la red, todos los osciladores oscilan aproximadamente a la misma frecuencia. Cuando un nodo apaga su luz, envía una señal excitadora a sus cuatro vecinos (arriba, abajo, derecha e izquierda, incluyendo un retorno a través de los bordes de la matriz) los cuales encienden sus luces. Esta actividad proveniente de los nodos sincroniza la red entera de modo que ella oscila encendiendo y apagando luces alternadamente (vertical y horizontalmente) en los instantes (t1, t2, t3, t4, t5, t6…) y además provee innumerables bucles paradojales. El retorno a través de los bordes, estructural o no, opera desde una fila (columna) par a una impar o desde una impar a una par. (Construí esta red y opera tal como la describe el texto).

Imagine a network, say, of a hundred nodes arranged in a 2-D (two-dimensional) matrix of 10x10 elements interconnected horizontally and vertically (a 2-D interconnection of nodes). Make each node an oscillator and its oscillation observable as a light that the node turns on (red) and off (white) with a given frequency. (See top half of the figure below). A basic oscillator consists of a logical inverter within a paradoxical loop (a loop with a “twist” such as the Möbius band). As with a paradox the oscillation develops in a time and a space resulting from the observer contemplating the oscillator from a logical perspective. (Many configurations of elements in a recurrent loop can make oscillators of different kinds and complexities such as electrical, mechanical, optical, biological, etc.). In the network, all nodes oscillate at approximately the same frequency. When a node turns off its light, it sends an excitatory signal to its four neighbors (up, down, right and left, including a wrap-around at the borders of the matrix) so that their lights turn on. This activity coming from the nodes synchronizes the whole network so that it oscillates turning on and off alternate lights (vertically and horizontally) at instants (t1, t2, t3, t4, t5, t6…) and it also provides innumerable paradoxical loops. The wrap-around, structural or not, operates from an even row (column) to an odd one or from an odd to an even one. (I built this network and it operates as described).

La estabilidad dinámica de la actividad en la red, claramente más compleja que aquélla en cada uno de sus nodos, ofrece muchos contextos paradójicos (todas las posibilidades) donde el observador puede elegir (distinguir) entre alternativas concurrentes:

The dynamic stability of the activity in the network, clearly more complex than that in each of its nodes, offers many paradoxical contexts (all possibilities) where the observer may choose (distinguish) among concurrent alternatives:

• Observando la actividad de la red (luces que se encienden, otras que se apagan), el observador puede concentrar su atención en una luz que acaba de encenderse, y luego cuando se apaga elegir una de sus cuatro luces vecinas (cuatro posibilidades) que ahora se han encendido. Entonces, concentrar su atención en la luz elegida y cuando ésta se apague, elegir una de sus cuatro luces vecinas que acaban de encenderse, y así hasta el infinito, formando una trayectoria dibujada por las luces visitadas. En cada luz visitada por el observador, las cuatro luces vecinas, como un contexto paradójico, alternan lógicamente arriba, abajo, derecha o izquierda y fusionan paradójicamente arriba, abajo, derecha e izquierda. (Vea la última figura de los toroides lógicos y paradójicos).
  

• Observing the activity of the network (lights turning on and off), the observer may concentrate on one light that just turned on, and when it goes off choose one of its four neighbor lights (four possibilities) that now have come on. Then, concentrate on that chosen light and, when it goes off, choose one of its four neighbor lights as they go on, and so on ad infinitum, forming a path drawn by the lights visited. At each light visited by the observer, the four neighbors, as a paradoxical context, alternate logically up, down, right or left and blend paradoxically up, down, right and left. (See the last figure of the logical and paradoxical toroids).
  

• El observador también puede elegir seguir el movimiento de una o más diagonales de luces encendidas. Mientras la red oscila, el movimiento lleva a estas diagonales hacia la esquina (arriba, izquierda) de la matriz y hacia la esquina (abajo, derecha). El observador también puede elegir diagonales cuyo movimiento las lleva hacia la esquina (arriba, derecha) y hacia la esquina (abajo, izquierda). Para el observador las diagonales, como un contexto paradójico, alternan lógicamente, hacia arriba o hacia abajo, y fusionan paradójicamente hacia arriba y hacia abajo.
  

• The observer may also choose to follow the movement of one or more diagonals of lights on. As the network oscillates, these diagonals move up towards the upper left corner of the matrix and down towards the bottom right corner. The observer may also choose diagonals that move up towards the upper right corner and down towards the bottom left corner. For the observer the diagonals, as a paradoxical context, alternate logically, up or down, and blend paradoxically into up and down.
  
  

• Lo mismo vale para las diagonales hechas de luces apagadas, si el observador elige seguir estas diagonales en lugar de las otras.
  

• The same applies to the diagonals made of lights off, if the observer chooses to follow these diagonals instead.
  

• El observador también puede elegir cualquier grupo de luces (digamos 2, 3, 4 … n luces encendidas) y, eligiendo los movimientos de cada luz elegida, formar figuras que resultan de las trayectorias determinadas por todas las elecciones. Por ejemplo, en la mitad inferior de la figura siguiente, un observador ha elegido un grupo de dos luces encendidas (rojas) en una diagonal. Luego, el observador elige, para cada luz, un movimiento vertical (u horizontal) pero en direcciones opuestas y así una y otra vez, como lo muestran las flechas. Mientras la red oscila este par de luces oscila, para el observador, como un balancín y gira como un molino de viento si los movimientos verticales y horizontales alternan.
  

• The observer may also choose any group of lights (say 2, 3, 4 … n lights on) and, choosing the moves of each selected light, form patterns that result from the path determined by all the choices. For example, in the bottom half of the following figure, an observer has chosen a group of two lights on (red) in a diagonal. Then, the observer chooses, for each light, a vertical (or horizontal) move but in opposite directions and so on, as shown by the arrows. As the network oscillates this pair will oscillate, for the observer, like a seesaw and will rotate like a windmill if vertical and horizontal moves alternate.
  

(Si el número de luces elegidas para cada grupo crece, el número de figuras posibles formadas a medida que el observador elige las luces vecinas aumenta aún más. Esto sucede aún para una red de modesto tamaño como la considerada aquí. Nótese que el observador no puede seguir todas las figuras posibles, de modo que pierde inevitablemente aquellas que no sigue, tal como cualquier observador sólo puede manejar hasta cierto punto su ambiente, perdiendo el resto).

(If the number of lights selected for each group increases, the number of possible patterns formed as the observer chooses the neighboring lights increases even more. This happens even for a modestly sized network such as the one considered here. Notice that the observer cannot follow all the possible patterns, thus unavoidably missing the ones not followed, much as any observer can handle only so much and no more of its environment, missing the rest).

• Y muchas otras.
  

• And many others.
  

Vea la figura animada.

The choices of the observer do not affect the oscillation of the network but without the network’s activity the observer cannot choose. On the other hand, without an observer the activity of the network makes no sense.

Adding light sensors to the network, an external (to the network) light may affect the dynamic stability of the network’s activity and some of the neighbors may not turn on when expected or vice-versa, thus changing the number of choices available to the observer. This suggests that the network can have any shape: regular, as shown, or irregular.

Since the network does generate light some lights may act as effectors, and so it can interact with another network or with itself (e.g., using a mirror).

Para un observador, algunas luces pueden representar superficies efectoras y algunos sensores de luz pueden representar superficies sensorias de la red. En una red como ésta, cualquier actividad en alguna parte de la red conduce a actividad en alguna otra parte de la red, incluyendo el “ambiente exterior” a la red.

Observemos ahora a la red de luces oscilantes como una sociedad de organismos individuales (las luces o grupos de ellas) que interactúan con sus vecinos inmediatos. Bajo ciertas circunstancias estas interacciones pueden corresponder a aquéllas de una sociedad viable, por ejemplo, un hormiguero, una colmena, un grupo humano. Notemos que para un observador no afectado por el funcionamiento de estas “sociedades”, éstas no hacen sentido excepto como redes oscilantes que sólo oscilan (no importa cuán compleja la oscilación) como la matriz de luces ya descrita.

Imaginemos a un visitante en una tierra extranjera donde los habitantes hablan una lengua que el visitante no entiende, y donde los habitantes no entienden el lenguaje del visitante. Durante un tiempo el visitante no interactúa con los habitantes y por lo tanto el visitante actúa sólo como un observador de ellos y viceversa mientras ninguno de los dos perciba al otro como un peligro o un estorbo. Las sociedades o grupos que el visitante encuentre aparecerán sólo como redes que sólo oscilan hasta que el visitante aprenda el lenguaje y participe en la oscilación (la danza).

Imagine a visitor to a foreign land where the inhabitants speak a language the visitor does not understand, and where the inhabitants do not understand the visitor’s language. During some time the visitor may not interact with these people and so the visitor may act only as an observer of them and vice versa as long as none perceives a threat or nuisance in the other. The societies or groups that the visitor may encounter will appear only as networks that just oscillate until the visitor learns the language and joins the oscillation (the dance).

La actividad de estas redes oscilantes puede resistir algún daño local (algunos nodos dejan de oscilar, algunas señales excitadoras o inhibidoras bloqueadas, etc.) pero la red como un todo continúa su danza, fusionando estabilidad e inestabilidad dinámicas y enriqueciendo así la vida del grupo o sociedad y la de sus miembros. Con un daño mayor la actividad de la red puede extinguirse.

The activity of these oscillating networks may sustain some local damage (some nodes stop oscillating, some excitatory or inhibitory signals blocked, etc.) but the network as a whole continues its dance, blending dynamic stability and instability, thus enriching the life of the group or society and that of its members. With major damage the activity of the network may collapse.

Notice that the activity (oscillation) in the network as a whole maintains itself because any activity somewhere in the network leads to further activity (integrated, synchronized) elsewhere in the network, activity that returns through many possible paradoxical feedback loops to the original activity considered. (A circle, a sphere, with its center everywhere and with its circumference, shell, nowhere).

Debería fluir de lo ya dicho que la interconexión 2-D de nodos puede extenderse a una interconexión multidimensional de nodos y que la actividad de los nodos puede hacerse mucho más compleja que la de encender o apagar una luz y que las señales entre los nodos también pueden crecer en complejidad. Los organismos vivos, por ejemplo, interactúan usando una variedad de portadores de señales simples y complejas: electro-químicos, químicos, luz, sonido, danza, etc., y, por supuesto, el lenguaje humano.

It should transpire from the above that the original 2-D interconnection of nodes could grow into a multi-dimensional interconnection of nodes and also that the activity of the nodes could grow much more complex than turning a light on or off and that the signals between nodes could also increase in complexity. Living organisms, for example, interact using a variety of carriers for simple and complex signals: electro-chemical, chemical, light, sound, dance, etc., and, of course, human language.

La figura que sigue representa los instantes (t1, t2, t3, t4, t5, t6 …) de un nodo (al centro), sus vecinos y los vecinos de sus vecinos en una interconexión multidimensional de nodos. Como antes, cuando un nodo apaga su luz (blanca) todos sus vecinos encienden sus luces (rojas). Con n = 4 la figura representa una interconexión 4-D (D1, D2, D3, Dn) de nodos con 8 posibilidades claramente dibujadas en cada nodo. (Si Dn representa el tiempo la figura puede representar un espacio-tiempo de 4-D). (Construí esta red y opera tal como la describe el texto).

The following figure represents the instants (t1, t2, t3, t4, t5, t6 …) of one node (at the center), its neighbors and the neighbors of its neighbors in a multi-dimensional interconnection of nodes. As before, when a node “turns off (white)” all its neighbors “turn on (red)”. With n = 4 the figure represents a 4-D (D1, D2, D3, Dn) interconnection of nodes with 8 possibilities at each node clearly depicted. (If Dn represents time the figure may represent a 4-D space-time manifold). (I built this network and it works as described).

---

Vea la figura animada.

---

(Una interconexión 1-D (unidimensional) de nodos ofrece al observador un contexto paradójico con 2 posibilidades en cada nodo (2 vecinos); una interconexión 2-D de nodos, como la que hemos considerado antes, ofrece en cada nodo 4 posibilidades (4 vecinos); una 3-D ofrece 6; una 4-D ofrece 8; y una n-D ofrece 2n posibilidades. (Una 0-D no ofrece ninguna).)

(A 1-D (1-dimensional) interconnection of nodes offers to the observer a paradoxical context with 2 possibilities at each node (2 neighbors); a 2-D interconnection of nodes, like the one we have discussed earlier, offers at each node 4 possibilities (4 neighbors); a 3-D offers 6; a 4-D offers 8; and an n-D offers 2n possibilities. (A 0-D offers none).)

Para contemplar más de cuatro dimensiones el lector debe imaginar o dibujar los nodos adicionales y sus interconexiones al nodo central, entre D3 y Dn, y entre –D3 y –Dn, como lo sugiere la figura.

To contemplate more than four dimensions the reader must imagine or draw the additional nodes and their interconnections to the node at the center, between D3 and Dn, and between –D3 and –Dn, as suggested in the figure.

A pesar de este aumento en complejidad, una red no impedida de elementos individuales todavía oscila sin importar cuán complejos los nodos, sus señales, o su comportamiento observado, y sin importar cuantas dimensiones involucren sus interacciones.

Si las hormigas pierden su “lenguaje” (señales entre nodos) la actividad del hormiguero se desintegra como una entidad. Lo mismo les acontece a las abejas y a su colmena. Y así le acontecerá a todos los organismos sociales (incluidos los humanos) y sus sociedades, si pierden su “lenguaje”.

If ants lose their “language” (signals between nodes) the anthill’s activity disintegrates as an entity. The same will happen to bees and their beehive. And so it will happen to all social organisms (including humans) and their societies, if they lose their “language”.

Nótese, sin embargo, que para un conjunto de nodos complejos tal como los humanos en sociedad, un “lenguaje” preciso y/o limitado como el de las hormigas o abejas, ya significa una pérdida. Un individuo complejo, ya una entidad en sí mismo y no totalmente sometido a una sociedad (tal como una hormiga en un hormiguero, una abeja en una colmena, etc.), requiere una comunidad de individuos complejos que interactúen con la riqueza y flexibilidad necesarias para lograr y preservar las mejores condiciones de vida para cada individuo en la comunidad.

Notice, however, that for a complex set of nodes such as humans in society, a precise and/or limited “language” such as that of ants or bees, implies already a loss. A complex individual, already an entity in itself and not totally subservient to a society (such as an ant in an anthill, a bee in a beehive, etc.), requires a community of complex individuals that will interact with the richness and flexibility necessary to achieve and preserve the best possible life for every individual in the community.

Desgraciadamente la mayoría de las sociedades humanas se organizan como jerarquías rígidas que requieren miembros predecibles (triviales), los cuales perderán rápidamente la riqueza y flexibilidad de sus interacciones reduciéndolas a un parloteo trivial, no diferente del “lenguaje” de las hormigas o abejas. Puede desarrollarse una sociedad, pero no de humanos.

Las jerarquías reemplazan el pensar y la conversación con rituales, seculares o religiosos, los cuales no llevan al pensar ni a la conversación. Esto revela sociedades intranquilas respecto al presente, melancólicas respecto a un pasado primitivo y con presentimientos de un futuro sin humanos.

Hierarchies replace thinking and conversation with rituals, secular or religious, where neither thinking nor conversation takes place. This reveals societies uneasy about the present, with longings for a primitive past and with forebodings of a future without humans.

Relajando las distinciones arbitrarias necesarias para establecer y mantener sociedades jerárquicas, hasta el punto de eliminar las jerarquías, permitirá consecuentemente recobrar la riqueza y flexibilidad de las interacciones y que el pensar y la conversación florezcan otra vez.

Relaxing the arbitrary distinctions necessary to establish and maintain hierarchical societies, to the point of eliminating the hierarchies, will accordingly allow the richness and flexibility of interactions to recover, and thinking and conversation to flourish again.

Consideremos la red de osciladores como una comunidad de observadores dotada de una actividad no jerárquica. Consideremos las perturbaciones que afectan a esta actividad sin desintegrarla, pero que pueden constituir estímulos para conflictos imprevisibles. La flexibilidad de la actividad no jerárquica le permite incorporar conflictos permanentes en una nueva danza (oscilación) o resistir conflictos pasajeros y recuperar su oscilación original.

Además, una comunidad con actividad no jerárquica no requiere distinciones rígidas y, por lo tanto, puede superar conflictos que no tienen solución dentro de las jerarquías.

A non-hierarchical community of individual observers does not require rigid distinctions and, therefore, will overcome otherwise insoluble conflicts.

Un observador que razona lógicamente no recibe bien las paradojas. Este observador, que rechaza a priori el máximo de posibilidades, considera las paradojas como razonamientos erróneos. Por lo tanto, un observador razonando lógicamente considera “razonamiento lógico” o “razonamiento paradójico”.

Para un observador que razona paradójicamente todas las posibilidades cuentan, fusionándose entre ellas. En consecuencia, para un observador que razona paradójicamente, razonar “lógicamente” o “paradójicamente” se fusionan en razonar “lógica y paradójicamente”.

For an observer reasoning paradoxically all possibilities count, blending into each other. Consequently, for an observer reasoning paradoxically, to reason “logically” or “paradoxically” blends into reasoning “logically and paradoxically”.

Un organismo vivo se produce y se mantiene a sí mismo como una red cerrada y paradójica de procesos y componentes que se distingue como un observador de un ambiente que resulta de la misma distinción.

Un organismo vivo, tal como una célula o un organismo multicelular, necesita un ambiente favorable para sobrevivir. También puede jugar el papel de un procesador que, interactuando con otros organismos vivos similares, puede formar parte de una cadena cerrada de procesadores, los cuales, dado o haciendo un ambiente favorable, puede conducir a un nuevo organismo vivo hecho de organismos vivos. Para sobrevivir, este nuevo organismo debe proveer un ambiente favorable para la supervivencia de los organismos constituyentes y para su reemplazo a través de la reproducción o de otra forma. Este nuevo estado de cosas requiere que los organismos constituyentes abandonen su forma imprevisible (su razonamiento paradójico) a favor de una forma previsible (un razonamiento lógico) exigido por el nuevo organismo.

Esto le sucede, por ejemplo, a las hormigas y a las abejas al someterse al hormiguero y a la colmena, respectivamente, el nuevo organismo vivo.

This happens, for example, to ants and bees as they submit to the anthill and beehive respectively, the new living organism.

Retornando brevemente a la red de osciladores como una metáfora, cada nodo aislado oscila libremente, impulsado por su bucle paradójico interno. Como parte de la red, sin embargo, debido a las señales de otros nodos, debe mantener su oscilación sincronizada, tal como lo exige la lógica de la red.

Returning briefly to the network of oscillators as a metaphor, each node, in isolation, oscillates unimpeded, enabled by its internal paradoxical loop. As part of the network, however, it must, due to the signals from other nodes, keep its oscillation in step, as the logic of the network demands.

La actividad de un sistema nervioso, así como la de otras redes, requiere la presencia de osciladores interconectados (una o más neuronas dentro de uno o más bucles paradójicos) que generan y mantienen esta actividad. Así, las neuronas forman una red de osciladores llamada el sistema nervioso. De otra manera, la actividad del sistema nervioso desaparecería y junto con ella las muchas posibilidades que ofrece a los organismos vivos.

La estructura tridimensional del sistema nervioso contiene innumerables neuronas con innumerables interconexiones. Como cada neurona conecta con muchas otras neuronas, el sistema nervioso, a pesar de su estructura tridimensional, funciona en forma multidimensional independiente de la posición de las neuronas y de las restricciones del espacio 3-D. Esto le otorga el enorme potencial para activar gran cantidad de canales, incluyendo aquellos que involucran el medio ambiente a través de efectores y sensores, esencialmente todas las posibilidades, como en un contexto paradójico, donde un observador hace las distinciones tentativas necesarias para interactuar consigo mismo y con su medio ambiente. Los sensores y efectores proveen la primera distinción tentativa: el observador distinguido de su medio ambiente, habitado por el mismo y por otros observadores.

Un observador, con un sistema nervioso potencialmente tan complejo como el de un infante humano, emerge a un mundo ya poblado y formado por otros observadores humanos.

An observer, with a nervous system as potentially complex as that of a human infant, emerges into a world already populated and shaped by other human observers.

Los sistemas nerviosos de los niños se desarrollan a través de interacciones con sus alrededores y con ellos mismos considerando todas las posibilidades, incluyendo las emociones, los sentimientos y a otros observadores, haciendo uso exhaustivo de sus efectores y sensores.

La actividad del sistema nervioso de los niños ofrece un contexto paradójico (todas las posibilidades) dentro del cual se desarrolla su razonamiento paradójico y lógico.

The children’s nervous system activity offers a paradoxical context (all possibilities) within which their paradoxical and logical reasoning develops.

Otros observadores, algunos indiferentes, algunos bien intencionados, guiarán a los niños en su exploración del mundo; algunos estimularán su razonamiento lógico con una visión restringida; otros estimularán su razonamiento paradójico con todas sus posibilidades; muchos intentarán instruirlos en cómo ellos ven el mundo. Todos influirán en los niños, en mayor o menor grado.

Un niño afortunado mantendrá vivo su razonamiento paradójico y así contemplará todas las posibilidades en un contexto paradójico dentro del cual, mediante un pensamiento independiente, hará las distinciones tentativas que necesite. Esto llevará a un sistema nervioso que mantendrá su curiosidad original, ánimo de conocer y la habilidad de ejercer un pensamiento independiente durante toda la vida de este observador humano. Este observador no dará por sentada la sociedad humana y contribuirá sabiamente a mejorarla sin ideas preconcebidas, prejuicios o dogmas que solamente pueden provenir de sólo razonar lógicamente.

A fortunate child will keep its paradoxical reasoning alive and so will contemplate all possibilities in a paradoxical context within which, through independent thinking, will make tentative distinctions as needed. This will lead to a nervous system that maintains its original curiosity, inquisitiveness and ability to exercise independent thinking during the whole life of this human observer. Such an observer will not take the society of humans for granted and will contribute wisely to its improvement without preconceived ideas, prejudices or dogmas that may only arise from logical reasoning alone.

Un niño menos afortunado inhibirá su razonamiento paradójico a favor de un razonamiento lógico, desarrollando así un sistema nervioso que perderá su curiosidad original, su ánimo de conocer y su pensamiento independiente. En el mejor de los casos este niño crecerá como un miembro indiferente de la sociedad humana, alguien que preferirá instruir que educar a los jóvenes. Una sociedad desafortunada con la mayoría de sus miembros inmersos en un razonamiento lógico sucumbirá a la recurrencia ya mencionada en el prefacio.

A less fortunate child will inhibit its paradoxical reasoning in favor of logical reasoning, developing a nervous system that will lose its original curiosity, inquisitiveness and independent thinking. At best, this child will grow into an indifferent member of the society of humans, one that will instruct rather than educate the young. An unfortunate society with most members immersed in logical reasoning will succumb to the recursion already mentioned in the preface.

Poco después de su temprana infancia los humanos también desarrollan la capacidad de reflexionar sobre sus acciones y pensamientos. Una sociedad desafortunada inhibe este desarrollo a través de jerarquías arbitrarias que limitan las posibilidades del sistema nervioso y pronto la mayoría de sus miembros pierden esta capacidad y viven totalmente ignorantes de este vacío dentro de otros y dentro de ellos mismos.

Soon after their early infancy humans also develop the capacity to reflect upon their actions and thoughts. An unfortunate society inhibits this development through arbitrary hierarchies that limit the possibilities of the nervous system and soon most of its members lack this capacity and live totally unaware of this vacuum within others and within themselves.

En lugar de confiar en el razonamiento lógico y en la búsqueda de una “verdad”, el Tractatus propone confiar en el razonamiento paradójico y en explorar todas las posibilidades; el razonamiento lógico aparece así bajo una nueva luz.